a, b を実数とする。連立不等式 x² − 5x + a < 0 かつ x² + 3x + b < 0 の解集合が 1 < x < 2 であるとき、組 (a, b) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   設定を言い換える。 どちらの不等式も左辺は下に凸の放物線なので、それぞれの解集合はその 2 次式の 2 解にはさまれた開区間である。連立の解はその 2 つの区間の共通部分であり、それが次のように与えられている。

   $\left(\alpha_1, \beta_1\right) \cap \left(\alpha_2, \beta_2\right) = (1, 2)$

2. 2

   解と係数の関係で 2 解の和を確定させる。 $x$ の係数によって、$a$ や $b$ の値によらず和が決まる：

   $\alpha_1 + \beta_1 = 5, \qquad \alpha_2 + \beta_2 = -3$

   これこそが問題を解けるものにしている制約である。区間を自由に選べるわけではない。

3. 3

   共通部分の端点を対応づける。 共通部分 $(1,2)$ の左端 $1$ と右端 $2$ は、それぞれ一方の区間から来ている。$\alpha_1 = 1$ と置いてみると $\beta_1 = 5 - 1 = 4$ となり、1 つ目の区間は $(1, 4)$ で、左端を与える。すると 2 つ目の区間が右端を与えねばならないので $\beta_2 = 2$、$\alpha_2 = -3 - 2 = -5$ となり、$(-5, 2)$ が得られる。

4. 4

   積の関係から a と b を読み取る。 解と係数の関係の積の側が定数項を与える：

   $a = \alpha_1\beta_1 = 1 \times 4 = 4, \qquad b = \alpha_2\beta_2 = (-5)(2) = -10$

5. 5

   因数分解と共通部分を検算する。 $(1,4)$ 上で $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) < 0$ であり、$(-5,2)$ 上で $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2) < 0$ である。両者の共通部分は $(1,4) \cap (-5,2) = (1,2)$ であり、要求どおりである。

6. 6

   他の割り当てが成り立たないことを確かめる。 もし2 つ目の区間が左端を与えるとすると $\alpha_2 = 1$、$\beta_2 = -4$ となるが、$\beta_2 > \alpha_2$ でなければならないので不可能である。したがって $(a,b) = (4,-10)$ が唯一の解である。