(xy − 1)² + (x + y − 2)(x + y − 2xy) を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平方を展開する。 $a=xy$、$b=1$ として $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ を使うと：

   $(xy-1)^{2}=x^{2}y^{2}-2xy+1.$

2. 2

   積を 2 つに分けて展開する。 最初のかっこを $(x+y)-2$ と分けると：

   $(x+y)(x+y-2xy)=(x+y)^{2}-2xy(x+y)=x^{2}+2xy+y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2},$

   $-2(x+y-2xy)=-2x-2y+4xy.$

   これらを足すと：

   $x^{2}+y^{2}+6xy-2x^{2}y-2xy^{2}-2x-2y.$

   $6xy$ は $2xy+4xy$ から来ている。この 2 か所からの寄与をまとめるところが、最も間違えやすい。

3. 3

   2 つの部分を足し合わせる。 展開した平方と合わせ、$xy$ の項をまとめる（$-2xy+6xy=4xy$）と：

   $x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1.$

   9 項からなり、$x$ と $y$ を入れ替えても変わらない対称式である。因数分解もまた対称になるという強い手がかりである。

4. 4

   完全平方であることを見抜く。 $t=xy-x-y+1$ とおいて 2 乗すると：

   $t^{2}=x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1-2x^{2}y-2xy^{2}+2xy+2xy-2x-2y=x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1,$

   となり、さきほどの展開とぴったり一致する。したがって式全体は $t^{2}$ に等しい。

5. 5

   $t$ を因数分解して答えを述べる。 まとめ方を工夫すると $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$ なので

   $(xy-1)^{2}+(x+y-2)(x+y-2xy)=\left[(x-1)(y-1)\right]^{2}=(x-1)^{2}(y-1)^{2}.$

   したがってこの式は決して負にならず、ゼロになるのはちょうど $x=1$ または $y=1$ のときである。$(x,y)=(1.8,-0.4)$ での数値検算では、どちらの形も $1.2544$ になる ✓。さらに 2 組の乱数でも 9 桁まで一致する。