(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 6) − 5x² を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   定数項がそろうように括弧を組にする。 4 つの因数を 2 つずつに分ける方法は 3 通りあり、役に立つのは定数項が一致する組み方である。$(-1)(6)=-6$、$(-2)(3)=-6$ なので、1 番目と 4 番目、2 番目と 3 番目を組にする：

   $(x-1)(x+6)=x^{2}+5x-6,\qquad (x-2)(x+3)=x^{2}+x-6.$

   ほかの組み方を選ぶと定数項の異なる 2 次式が 2 つできるだけで、利用できる共通の構造が現れない。

2. 2

   共通部分に置き換えを導入する。 どちらの 2 次式も $x^{2}+x-6$ を含んでいる。なぜなら

   $x^{2}+5x-6=\left(x^{2}+x-6\right)+4x.$

   だからである。$y=x^{2}+x-6$ とおくと、式は

   $(y+4x)\,y-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}.$

   になる。これは $y$ と $x$ という 2 つの量についての 同次 2 次式 であり、一般の 4 次式よりはるかに扱いやすい。

3. 3

   $y$ の 2 次式を因数分解する。 積が $-5x^{2}$、和が $4x$ になる 2 つの項を探すと、それは $5x$ と $-x$ である。よって

   $y^{2}+4xy-5x^{2}=(y+5x)(y-x).$

   となる。確認はすぐにできる：$(y+5x)(y-x)=y^{2}-xy+5xy-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}$ ✓。

4. 4

   もとに戻す。 各因数の $y=x^{2}+x-6$ を戻すと：

   $y+5x=x^{2}+x-6+5x=x^{2}+6x-6,\qquad y-x=x^{2}+x-6-x=x^{2}-6.$

   したがって

   $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)-5x^{2}=\left(x^{2}+6x-6\right)\left(x^{2}-6\right).$

5. 5

   検算し、解も押さえる。 $x=1.7$ で数値を確かめると、もとの式は $-22.0499$、因数分解した形も $-22.0499$ である ✓。どちらの因数も有理数の範囲では分解できない。$x^{2}-6$ の解は $\pm\sqrt6$、$x^{2}+6x-6$ の判別式は $36+24=60$ で解は $-3\pm\sqrt{15}$ である。つまり 4 つの解はすべて無理数であり、だからこそ有理数解をいくら試してもこの因数分解には辿り着けなかったのである。