x¹⁰ − y¹⁰ を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   どの因数も有理数係数のままになる分け方を選ぶ。 $10=2\times5$ なので、指数はどちらにも分けられる。まず2 乗の差とみるのが最善である。$a^{2}-b^{2}$ はただちに 2 つの因数に分かれるからである：

   $x^{10}-y^{10}=\left(x^{5}\right)^{2}-\left(y^{5}\right)^{2}=\left(x^{5}-y^{5}\right)\left(x^{5}+y^{5}\right)$

   （代わりに $\left(x^{2}\right)^{5}-\left(y^{2}\right)^{5}$ から始めても同じ結論に至るが、まとめ直す手間が増える。）

2. 2

   5 乗の差を因数分解する。 一般の公式は $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}\right)$ なので、$n=5$ ではどの項も $+$ の符号を持つ：

   $x^{5}-y^{5}=(x-y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)$

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   5 乗の和を因数分解する。 奇数乗の和も因数分解でき、長いほうの因数では符号が交互に並ぶ：

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   これが成り立つのは $5$ が奇数だからにほかならない。対照的に $x^{4}+y^{4}$ は整数の範囲では因数分解できない。

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   完全な因数分解を組み立てる。

   $x^{10}-y^{10}=(x-y)(x+y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   次数もきちんと合う：$1+1+4+4=10$ ✓。2 つの 4 次因数はどちらも整数の範囲で既約なので、これで完全に分解できている。

5. 5

   数値で検算する。 $-6\le x,y\le6$ を満たす $169$ 組すべての整数の組 $(x,y)$ で積を展開すると、$x^{10}-y^{10}$ が厳密に再現される ✓。$x=2,y=1$ で手早く確かめると、左辺は $1024-1=1023$、右辺は $(1)(3)(16+8+4+2+1)(16-8+4-2+1)=1\cdot3\cdot31\cdot11=1023$ である ✓。