x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   等比数列の和と見抜く。 6 個の項は $x^0$ から $x^5$ までで公比は $x$ なので、$x\neq 1$ のとき

   $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{x^6-1}{x-1}$

   これで扱いにくい 5 次式が、既知の因数分解を持つ「べきの差」に変わる。

2. 2

   $x^6-1$ を平方の差として分解する。 $x^6=(x^3)^2$ と読めば

   $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$

3. 3

   それぞれの 3 次式を、3 乗の和と差の公式で分解する。

   $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\qquad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

4. 4

   $x-1$ を約分する。 すべてを戻すと

   $\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}{x-1}=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

   この約分は多項式の恒等式として正当である——もとの 5 次式は $x-1$ を因数に持たない。$x=1$ を代入すると $0$ ではなく $6$ になるからである。

5. 5

   直接の組み合わせでも突き合わせる。 項を組むと $x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^4+x^2+1)$ となり、さらに $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ である（$x^2$ を足して引き、平方の差を作る）。まったく別の道筋で同じ答えに至る。

6. 6

   数値で確認し、既約性も調べる。 $x=2$ のとき、もとの式は $32+16+8+4+2+1=63$ で、$(3)(7)(3)=63$ ✓。どちらの 2 次式も判別式が $1-4=-3<0$ なので実数の範囲ではこれ以上分解できない——因数分解は完成している。