x⁴ − x² + 1/4 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $x^2$ を 1 つの文字として扱う。 現れるのは偶数乗だけであり、$x^4=\left(x^2\right)^2$ なので、この式は $u=x^2$ についての 2 次式である：

   $u^2-u+\frac14$

2. 2

   定数項が分数のまま完全平方式の形を確かめる。 $\tfrac14=\left(\tfrac12\right)^2$ であり、中央の項は $-2ab$ に等しくなければならない：

   $-2\cdot u\cdot\frac12=-u$

   これは一致している。定数項が分数でも支障はない。この公式はどんな体の上でも成り立つ。

3. 3

   平方の形に書き、もとの文字に戻す。

   $u^2-u+\frac14=\left(u-\frac12\right)^2\quad\Longrightarrow\quad x^4-x^2+\frac14=\left(x^2-\frac12\right)^2$

4. 4

   さらに分解するかどうかを決める。 実数の範囲なら $x^2-\tfrac12$ を 2 乗の差として分けられる：

   $\left(x-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2\left(x+\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2$

   しかし有理数の範囲では $\tfrac12$ が有理数の平方ではないので、$\left(x^2-\tfrac12\right)^2$ が行き止まりである。

5. 5

   数値で検算する。 $x=2$ のとき、もとの式は $16-4+0.25=12.25$、一方 $\left(4-0.5\right)^2=3.5^2=12.25$ である $\checkmark$。