−c¹⁰n⁶ + 1/49 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   正の項が先に来るように並べ替える。 平方の差は $A^2-B^2$ の形で最も見つけやすい：

   $-c^{10}n^6+\frac{1}{49}=\frac{1}{49}-c^{10}n^6$

2. 2

   各項を平方の形に表す。 分数については分子と分母の平方根をとり、単項式については各指数を半分にする：

   $\frac{1}{49}=\left(\frac{1}{7}\right)^2,\qquad c^{10}n^6=\left(c^5n^3\right)^2$

   半分にできるのは $\left(c^5\right)^2=c^{10}$、$\left(n^3\right)^2=n^6$ だからであり、どちらの指数も偶数であることが、まさに平方であることの条件である。

3. 3

   公式 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ を当てはめる。 $A=\tfrac17$、$B=c^5n^3$ とすると：

   $\frac{1}{49}-c^{10}n^6=\left(\frac{1}{7}-c^5n^3\right)\left(\frac{1}{7}+c^5n^3\right)$

4. 4

   これ以上の因数分解ができないことを確かめる。 どちらの因数も平方の差ではなく（一方はプラス符号をもち、もう一方は奇数乗の $c^5$ をもつ）、共通因数もない。$c=n=1$ で数値を確かめる。もとの式は $=\tfrac1{49}-1=-\tfrac{48}{49}$、因数分解した形は $\left(\tfrac17-1\right)\left(\tfrac17+1\right)=\left(-\tfrac67\right)\left(\tfrac87\right)=-\tfrac{48}{49}$ $\checkmark$。