x¹⁰⁵ + 1 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   まず指数の偶奇を確かめる。 べきの和 $x^{n}+1$ が整数の範囲で $(x+1)$ を因数に持つのは、$n$ が奇数のときに限る。因数定理でそのまま試す。$x=-1$ を代入すると

   $(-1)^{105}+1=-1+1=0\ \checkmark$

   となる。$105$ は奇数だからである。よって $x+1$ は $x^{105}+1$ を余りなく割り切る。

2. 2

   奇数乗の和の公式を当てはめる。 $a=x$、$b=1$、$n=105$ とすると：

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   $b=1$ のべきはすべて $1$ になるので、残りの因数は $x$ のべきが交互に並ぶだけの式に縮む。

3. 3

   因数分解を書く。

   $x^{105}+1=(x+1)\left(x^{104}-x^{103}+x^{102}-\cdots-x+1\right)$

   残りの因数は次数 $104$ から $0$ までの $105$ 項からなり、符号は交互に並ぶ。最高次の $104$ が偶数なので先頭の符号は $+$ であり、項数が奇数であることから定数項も $+1$ になる。

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   数値で検算する。 $x=2,3,5,-2,-3$ で整数のまま厳密に両辺を計算すると、毎回等しくなる ✓。次数も合っている：$1+104=105$ ✓。

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   これが完全な因数分解ではないことに注意する。 $105=3\times5\times7$ なので、どの約数に沿ってもさらに分解できる。たとえば $x^{105}+1=\left(x^{35}\right)^{3}+1$ とも見られるので、$\left(x^{35}+1\right)\left(x^{70}-x^{35}+1\right)$ とも分解できる。$\mathbb{Q}$ 上で完全に分解すると、$x^{105}+1$ は、$210$ の約数 $d$ のうち $105$ を割り切らないものに対する円分多項式 $\Phi_{d}(x)$ に分かれる。上の $(x+1)$ の形は、その最初の、そして最も役に立つ分け方にすぎない。