x¹⁰⁵ − 1 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   ここでは指数の偶奇は関係しないことに注意する。 べきの和とは違い、べきの差 $x^{n}-1$ は、どんな正の整数 $n$ についてもつねに $x-1$ を因数に持つ。因数定理を使えば理由は 1 行で分かる。指数がいくつであろうと $x=1$ を代入すれば $1^{105}-1=0$ ✓ となるからである。

2. 2

   べきの差の公式を当てはめる。 $a=x$、$b=1$、$n=105$ とすると：

   $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   残りの因数の符号はすべて正である。符号が交互になる和の場合との構造上の違いは、ここにある。

3. 3

   因数分解を書く。

   $x^{105}-1=(x-1)\left(x^{104}+x^{103}+x^{102}+\cdots+x+1\right)$

   残りの因数は有限個の等比数列の和 $\displaystyle\sum_{k=0}^{104}x^{k}$ である。だからこそこの公式は、$x\neq1$ のときの等比数列の和の公式 $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}=\frac{x^{n}-1}{x-1}$ と同じ内容になる。

4. 4

   打ち消し合いと数値で検算する。 展開すると $x\cdot\sum x^{k}$ は次数 $1$ から $105$ までを与え、$-1\cdot\sum x^{k}$ は次数 $0$ から $104$ までを与える。次数 $1$ から $104$ まではすべて打ち消し合い、$x^{105}-1$ だけが残る ✓。$x=2,3,5,-2,-3$ で整数のまま厳密に計算しても、すべての場合で一致する ✓。

5. 5

   105 の約数を使ってさらに分解する。 $105=3\times5\times7$ なので、この式はそれぞれの約数に沿ってさらに分かれる。たとえば

   $x^{105}-1=\left(x^{5}\right)^{21}-1=\left(x^{5}-1\right)\left(x^{100}+x^{95}+\cdots+1\right)$

   一般に、$105$ の約数 $d$、すなわち $1,3,5,7,15,21,35,105$ のそれぞれについて $x^{d}-1$ は $x^{105}-1$ を割り切る。$\mathbb{Q}$ 上の完全な因数分解は、ちょうどその 8 個の約数にわたる円分多項式 $\Phi_{d}(x)$ の積である。