どのような指数 n に対して a^n + b^n は因数分解できるか。またその因数分解を示せ。

Step-by-step solution

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   $a=-b$ を代入して $a+b$ が因数かどうかを判定する。 因数定理により、$(a+b)$ がこの式を割り切るのは $a=-b$ を代入して 0 になるときに限る。

   $(-b)^{n}+b^{n}=\begin{cases}-b^{n}+b^{n}=0,&n\text{ が奇数}\\ b^{n}+b^{n}=2b^{n}\neq0,&n\text{ が偶数}\end{cases}$

   つまり $n$ の偶奇がすべてを決めており、しかもその理由はただ 1 つの明快なものである。

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   奇数の $n$ に対する恒等式を書く。 $n$ が奇数のとき

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}$

   が成り立つ。符号が交互になるおかげで、積を展開すると中間の項がすべて打ち消し合う。$n=3,5,7,9$ についてそれぞれ整数の組 $121$ 通りで厳密に検証済み ✓。

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   小さい奇数の場合を見る。

   $a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$

   $a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}\right)$

   残りの因子は常に $n$ 項からなり、どの項も全次数 $n-1$ で、符号はプラスで始まりプラスで終わりながら交互に変わる。

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   偶数の場合を理解する。 偶数の $n$ については、そのような $n$ すべてに通用する因数分解は存在しない。$a^{2}+b^{2}$ は実数の範囲で既約であり、数値でも $2^{2}+3^{2}=13$ に対して $(2+3)(2-3)=-5$ となるので、$a+b$ はたしかに因数ではない ✓。

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   偶数の $n$ に潜む奇数の約数を利用する。 $n$ が偶数でも 奇数 $m>1$ で割り切れるなら、$n=m\cdot q$ と書いて式を $\left(a^{q}\right)^{m}+\left(b^{q}\right)^{m}$ と見れば、奇数の規則で因数分解できる。$n=6$ で $m=3$、$q=2$ とすると

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   となる。$n$ が 2 のべき（$2,4,8,\ldots$）のときは奇数の約数が存在せず、$a^{n}+b^{n}$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である——ただし $a^{4}+4b^{4}$ のような特殊な形はソフィー・ジェルマンの恒等式で分解できる。