x⁵ + y⁵ を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   そもそも和が因数分解できるのかを確かめる。 べきの和が因数分解できるのは指数が奇数のときだけである。理由は根にある：$x=-y$ とすると $x^{5}+y^{5}=-y^{5}+y^{5}=0$ となるので、因数定理より $(x+y)$ が必ず割り切る。指数が偶数だと同じ代入で $2y^{4}\neq0$ となり、これが $x^{4}+y^{4}$ にそのような因数がない理由である。

2. 2

   奇数乗の和の公式を当てはめる。 奇数 $n$ に対して

   $x^{n}+y^{n}=(x+y)\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-\cdots+y^{n-1}\right)$

   符号は交互に入れ替わり、正から始まる。$n-1$ が偶数、すなわち項数 $n$ が奇数なので、末尾も正で終わる。

3. 3

   $n=5$ の場合を書き下す。 第 2 因数は $5$ 個の項からなり、どの項も次数の合計は $4$ である：

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

4. 4

   展開して検算する。 掛け合わせると、$x$ の分配から $x^{5}-x^{4}y+x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3}+xy^{4}$、$y$ の分配から $x^{4}y-x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-xy^{4}+y^{5}$ が出る。中間の項はすべて対になって打ち消し合い、$x^{5}+y^{5}$ が残る ✓——符号が交互になっているのは、まさにこの相殺を起こさせるためである。この恒等式は $-8\le x,y\le8$ を満たす整数の組 $289$ 通りすべてで確認済み ✓。

5. 5

   4 次の因数が整数の範囲で既約であることを確かめる。 $x^{2}$ の 2 次式として見ても有理的な構造を持たず、$x,y$ が同時に 0 でない実数のとき常に正の値をとる（たとえば $x=y=1$ では $1-1+1-1+1=1$）。よってこの 2 因数の形で完成である。$x=2,y=1$ で確認すると $32+1=33$、$(3)(16-8+4-2+1)=3\cdot11=33$ ✓。