x² + x + 1 を実数の範囲で因数分解せよ。できない場合は複素数の範囲で因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   判別式で実数の範囲の因数分解を否定する。 $a=b=c=1$ なので：

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3<0$

   実数解は存在しないので、$x^{2}+x+1$ は $\mathbb{R}$ 上で既約である。平方完成すれば構成的にも確かめられる：$x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34\ge\tfrac34>0$ なので、この式は決してゼロにならない。

2. 2

   複素数の範囲の解を求める。

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   実数係数のときつねにそうであるように、互いに共役な 2 解である。

3. 3

   $\mathbb{C}$ 上での因数分解を書く。

   $x^{2}+x+1=\left(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)=\left(x+\frac12-\frac{i\sqrt3}{2}\right)\left(x+\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)$

4. 4

   解と係数の関係で検算する。 2 解の和は $\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{-1-i\sqrt3}{2}=-1=-\dfrac{b}{a}$ ✓、積は $\dfrac{(-1)^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1=\dfrac{c}{a}$ ✓ なので、積を展開すればちょうど $x^{2}+x+1$ に戻る。どちらの解を代入しても残差は $10^{-15}$ 未満である ✓。

5. 5

   2 解が 1 の虚立方根であることに気づく。 次が成り立つので

   $x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}+x+1=\frac{x^{3}-1}{x-1}$

   2 解はちょうど、$1$ 自身を除いた $1$ の立方根であり、$\omega$、$\omega^{2}$ と書かれる。数値計算でも $\omega^{3}=1$ と $\omega^{2}+\omega+1=0$ が $10^{-15}$ 以内で確かめられる ✓。立方の差を因数分解するとかならず $x^{2}+x+1$ が現れるのも、この等式のためである。