a² + b² を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   なぜ実数では足りないのかを説明する。 平方の差 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ に対応する 和 の公式は $\mathbb{R}$ 上には存在しない。$a$ についての 2 次式と見ると、$a^{2}+b^{2}$ の判別式は $b\neq0$ のとき $0-4b^{2}=-4b^{2}<0$ なので実数解をもたず、したがって 実数係数の 1 次因数をもたない。

2. 2

   虚数単位を導入する。 $i^{2}=-1$ を使えば、和は差として書き直せる：

   $a^{2}+b^{2}=a^{2}-\left(-b^{2}\right)=a^{2}-(bi)^{2}$

   なぜなら $(bi)^{2}=b^{2}i^{2}=-b^{2}$ だからである。これが工夫のすべてである——$\mathbb{C}$ 上では、どの平方の和も姿を変えた平方の差 である。

3. 3

   $A=a$、$B=bi$ として平方の差の公式を当てはめる。

   $a^{2}+b^{2}=(a-bi)(a+bi)$

4. 4

   展開して検算する。

   $(a+bi)(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b^{2}(-1)=a^{2}+b^{2}\ \checkmark$

   交差項が打ち消し合い、$i^{2}=-1$ が引き算を足し算に変える。$-5\le a,b\le5$ を満たす $121$ 組の整数すべてで確認済み ✓。

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   これがどこで現れるかを押さえる。 2 つの因数は 互いに共役な複素数 であり、その積 $(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|a+bi|^{2}$ はちょうど複素数 $a+bi$ の絶対値の 2 乗である。これはまさに、複素数の分母を有理化するときに使う等式である。共役を掛けると $i$ が消え、実数の量 $a^{2}+b^{2}$ が残る。