x² − x + 1 を、可能なら実数の範囲で、できなければ複素数の範囲で因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   判別式を計算して実数の場合に決着をつける。 $a=1$、$b=-1$、$c=1$ なので

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4(1)(1)=1-4=-3$

   である。$\Delta<0$ なのでこの 2 次式は実数解をもたず、$\mathbb{R}$ 上で既約 である——実数係数の 1 次因数の組は存在せず、$1$ の整数の約数の組を探しても無駄である。

2. 2

   解の公式で複素数解を求める。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   2 つの解は互いに共役な複素数である。実数係数の多項式では必ずそうなる。

3. 3

   $\mathbb{C}$ 上での因数分解を書く。 モニックな 2 次式は、その解にわたる $(x-\text{解})$ の積に等しい：

   $x^{2}-x+1=\left(x-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)$

4. 4

   掛け戻して検算する。 積は $x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}$ である。解の和は $\dfrac{1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{1-i\sqrt3}{2}=1$ ✓、積は $\dfrac{1^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1$ ✓ となり、ちょうど $x^{2}-x+1$ が得られる。どちらの解を代入しても残差は $10^{-14}$ 未満である ✓。

5. 5

   実数での別の見方と、その背後にある恒等式を押さえる。 平方完成すると実数の形 $x^{2}-x+1=\left(x-\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$ が得られ、最小値が $\tfrac34>0$ であることが分かる——決して 0 にならないことの独立した証明である。また解は原始 6 乗根 であり、これは恒等式 $x^{2}-x+1=\dfrac{x^{3}+1}{x+1}$ に対応している。