x² + x − 6 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   探索を設定する。 モニックな 2 次式 $x^{2}+bx+c$ の因数分解は $(x+m)(x+n)$ で、$mn=c$、$m+n=b$ である。ここでは $c=-6$、$b=+1$ なので、積が $-6$、和が $1$ の 2 数が必要である。

2. 2

   符号で候補を刈り込む。 積が 負 ということは、2 数の 符号が逆 ということである。和が小さい正の数なので、正のほうが絶対値で大きい——ちょうど $1$ だけ大きい。

3. 3

   $-6$ を符号が逆の数の積で表す組を試す。

   $(1,-6)\to-5,\quad(6,-1)\to5,\quad(2,-3)\to-1,\quad(3,-2)\to1\ \checkmark$

   組 $3$ と $-2$ がうまくいく。$3\times(-2)=-6$ ✓、$3+(-2)=1$ ✓ である。

4. 4

   因数分解を書く。

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

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   展開して検算する。 $(x+3)(x-2)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6$ ✓、$-30$ から $29$ までのすべての整数で確認済み ✓。判別式 $1+24=25=5^{2}$ は平方数であり、整数の因数が存在することがあらかじめ保証される。

6. 6

   解と符号のふるまいを読み取る。 零点は $x=-3$ と $x=2$ である。放物線が上に開いているので、$x^{2}+x-6<0$ となるのはちょうど $(-3,2)$ の上であり、その外では正である。頂点は中点の $x=-\tfrac12$ にあり、そこでの値は $\tfrac14-\tfrac12-6=-\tfrac{25}{4}$——これが最小値である。