x³ − 7x + 6 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解の候補を並べる。 整数係数のモニックな 3 次式では、有理数解は必ず定数項 $6$ を割り切る：

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$

   $x^{2}$ の項がないので、3 つの解の 和は 0 である（解と係数の関係）——試しながら頭に置いておくと役に立つ制約である。

2. 2

   代入して最初の解を見つける。 $x=1$ を試す：

   $1^{3}-7(1)+6=1-7+6=0\ \checkmark$

   よって $x=1$ は解であり、因数定理より $x-1$ はこの 3 次式をちょうど割り切る。

3. 3

   $x-1$ で割る。 係数 $1,\;0,\;-7,\;6$（$0$ は抜けている $x^{2}$ の項の場所を埋める）で組立除法をすると

   $1\ \big|\ 1\quad0\quad-7\quad6\ \longrightarrow\ 1\quad1\quad-6\quad\boxed{0}$

   となるので、商は $x^{2}+x-6$、余りは $0$ ✓ であり、割り切れたことが確認できる：

   $x^{3}-7x+6=(x-1)\left(x^{2}+x-6\right)$

4. 4

   2 次式を因数分解する。 積が $-6$、和が $+1$ になる 2 数を探すと、$3$ と $-2$ の組がうまくいく。$3\times(-2)=-6$、$3+(-2)=1$ ✓ である：

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

5. 5

   組み立てて検算する。

   $x^{3}-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$

   この等式は $-30$ から $29$ までのすべての整数で確認済み ✓。解と係数の関係も合う。解 $1,2,-3$ の和は $0$ で、$x^{2}$ の項がないことと一致する ✓。積は $1\cdot2\cdot(-3)=-6=-\dfrac{\text{定数項}}{\text{最高次の係数}}$ ✓。