x² + x − 12 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   2 数の探索を設定する。 モニックな 2 次式 $x^{2}+bx+c$ の因数分解は $(x+m)(x+n)$ で、$mn=c$、$m+n=b$ である。ここでは $c=-12$、$b=+1$（裸の $x$ の係数は $1$）なので、積が $-12$、和が $1$ になる 2 数が必要である。

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   符号で探索を半分にする。 積 $-12$ が 負 なので、2 数は 符号が逆 でなければならない。和 $+1$ は小さい正の数なので、正のほうが絶対値で大きい——ちょうど $1$ だけ大きい。

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   $-12$ を符号が逆の数の積で表す組と、その和を並べる。

   $(1,-12)\to-11,\quad(12,-1)\to11,\quad(2,-6)\to-4,\quad(6,-2)\to4,\quad(3,-4)\to-1,\quad(4,-3)\to1\ \checkmark$

   必要な和を与えるのは $4$ と $-3$ だけであり、$4\times(-3)=-12$ ✓ である。

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   因数分解を書き下す。

   $x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)$

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   展開して確かめる——組を間違えていればここで露見する。 $(x+4)(x-3)=x^{2}-3x+4x-12=x^{2}+x-12$ ✓。中央の係数は 和、定数項は 積 なので、定数項がそのまま戻ってこなければ組が間違っている。この等式は $-40$ から $39$ までのすべての整数で確認済み ✓。

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   解を読み取る。 式は $x=-4$ と $x=3$ で 0 になるので、これらが $x^{2}+x-12=0$ の解である。判別式 $1^{2}-4(1)(-12)=49=7^{2}$ は平方数であり、そもそも整数の因数が存在することの保証になっている。