x² + 5xy + 6y² − 2x − 7y − 3 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 次の部分を切り出す。 式全体が 2 つの 1 次式に分解されるなら、それらの最高次の部分どうしの積は $x^2+5xy+6y^2$ にならなければならない。この部分だけを因数分解すれば、答えの形が決まる。

2. 2

   2 次の部分を因数分解する。

   $x^{2}+5xy+6y^{2}=(x+2y)(x+3y)$

   よって因数分解は、定数 $p$ と $q$ を用いて $(x+2y+p)(x+3y+q)$ の形になるはずである。

3. 3

   定数項を合わせる。 2 つの定数を掛けると $pq=-3$ になるので、$\{p,q\}$ は $\{1,-3\}$ か $\{3,-1\}$ である。

4. 4

   x と y の係数を合わせて絞り込む。 $(x+2y+p)(x+3y+q)$ を展開すると、$x$ の係数は $p+q$、$y$ の係数は $3p+2q$ になる。必要なのは $p+q=-2$ と $3p+2q=-7$ である。組 $p=-3$、$q=1$ が両方を満たす。$-3+1=-2$、$-9+2=-7$ である。

5. 5

   答えを書く。

   $\boxed{(x+2y-3)(x+3y+1)}$

6. 6

   展開して確かめる。

   $(x+2y-3)(x+3y+1)=x^2+3xy+x+2xy+6y^2+2y-3x-9y-3=x^2+5xy+6y^2-2x-7y-3$