x² + (2a + 5)x + a² + 5a − 6 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   式を 1 つの文字について整理する。 この式はすでに $x$ の 2 次式として書かれている。$x$ の係数は $2a+5$、定数項は $a^2+5a-6$ である。$a$ を決まった数とみなせば、これはふつうの和と積による因数分解になる。

2. 2

   定数項を因数分解する。 積が $-6$、和が $5$ になる 2 数は $6$ と $-1$ である：

   $a^{2}+5a-6=(a+6)(a-1)$

3. 3

   その 2 つの部分を足すと中央の係数になるかを確かめる。

   $(a+6)+(a-1)=2a+5$

   これは $x$ の係数とぴったり一致する。これが、$p=a+6$、$q=a-1$ として 2 次式が $(x+p)(x+q)$ と分解される合図である。

4. 4

   因数分解を書き下す。

   $x^{2}+\big[(a+6)+(a-1)\big]x+(a+6)(a-1)=(x+a+6)(x+a-1)$

   $\boxed{(x+a+6)(x+a-1)}$

5. 5

   展開して検算する。 $(x+a+6)(x+a-1)=x^2+(a-1)x+(a+6)x+(a+6)(a-1)=x^2+(2a+5)x+a^2+5a-6$——もとの式である。