3x² − 14xy + 15y² + 13x − 23y + 4 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず 2 次の部分を因数分解する。 2 つの 1 次式への因数分解があるなら、その最高次の部分は掛け合わせて

   $3x^{2}-14xy+15y^{2}=(3x-5y)(x-3y)$

   とならなければならない。（確認：$3x\cdot(-3y)+(-5y)\cdot x=-9xy-5xy=-14xy$。✓）

2. 2

   未知の定数を書き入れる。 因数分解は

   $(3x-5y+p)(x-3y+q)$

   の形でなければならない。ここで定数 $p,q$ は $pq=4$ を満たす。

3. 3

   x の係数を合わせる。 展開すると $x$ の項は $3qx+px$ なので、$3q+p=13$ である。

4. 4

   y の係数を合わせる。 $y$ の項は $-5yq-3py$ なので、$-5q-3p=-23$、すなわち $5q+3p=23$ である。

5. 5

   小さな連立方程式を解く。 $p=13-3q$ を代入すると $5q+39-9q=23$ となるので、$-4q=-16$ から $q=4$、$p=1$ が得られる。どちらも $pq=4$ を満たす。したがって

   $\boxed{(3x-5y+1)(x-3y+4)}$

6. 6

   展開して確かめる。 $(3x-5y+1)(x-3y+4)=3x^2-9xy+12x-5xy+15y^2-20y+x-3y+4=3x^2-14xy+15y^2+13x-23y+4$。✓