x² − 4x − y² − 6y − 5 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   x の項と y の項を別々に組にする。 混合項 $xy$ がないことが、この式を 2 つの完全平方の差に変えられるという手がかりである：

   $\left(x^{2}-4x\right)-\left(y^{2}+6y\right)-5$

   $y$ の組の前のマイナス符号が $y^2$ と $6y$ の両方の符号を変えることに注意する。

2. 2

   x について平方完成する。 $x^2-4x=(x-2)^2-4$ である。

3. 3

   y について平方完成する。 $y^2+6y=(y+3)^2-9$ なので、$-\left(y^{2}+6y\right)=-(y+3)^{2}+9$ である。

4. 4

   定数をまとめ直す。

   $(x-2)^{2}-4-(y+3)^{2}+9-5=(x-2)^{2}-(y+3)^{2}$

   余った 3 つの定数 $-4+9-5$ がちょうど打ち消し合う。これがこの組み分けが意図されたものであることの証拠である。

5. 5

   平方の差を当てはめる。 $A=x-2$、$B=y+3$ とすると：

   $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)=\big[(x-2)-(y+3)\big]\big[(x-2)+(y+3)\big]=(x-y-5)(x+y+1)$

   $\boxed{(x-y-5)(x+y+1)}$

6. 6

   展開して検算する。 $(x-y-5)(x+y+1)=x^2+xy+x-xy-y^2-y-5x-5y-5=x^2-4x-y^2-6y-5$。✓