x² + 2x − 8y − 3xy − 4y² を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   項を全体の次数で仕分ける。 $x$ と $y$ を合わせた次数が 2 の項が 3 つ、次数が 1 の項が 2 つある：

   $\underbrace{x^2-3xy-4y^2}_{\text{次数 }2}+\underbrace{2x-8y}_{\text{次数 }1}$

   この組み分けが決め手である。式全体が 2 つの括弧に分解されるなら、次数 2 の部分はそれらの最高次の部分どうしの積でなければならない。

2. 2

   同次の 2 次部分を因数分解する。 $y$ を定数とみて $x$ の 2 次式として扱う。掛けて $-4y^2$、足して $-3y$ になる 2 つの項が必要で、それは $-4y$ と $+y$ である：

   $x^2-3xy-4y^2=(x-4y)(x+y)$

3. 3

   1 次の部分を因数分解し、共通する括弧を探す。

   $2x-8y=2(x-4y)$

   因数 $(x-4y)$ が両方の部分に現れている——これが式全体が因数分解できることの合図であり、手順 2 で得た 2 つの括弧のどちらが共通のものかを教えてくれる。

4. 4

   $(x-4y)$ をくくり出す。

   $(x-4y)(x+y)+2(x-4y)=(x-4y)\bigl[(x+y)+2\bigr]=(x-4y)(x+y+2)$

5. 5

   展開して戻し、数値でも試す。 展開すると $(x-4y)(x+y+2)=x^2+xy+2x-4xy-4y^2-8y=x^2-3xy+2x-4y^2-8y$ となり、これは項の順序を入れ替えたもとの式である ✓。$x=3$、$y=1$ では、もとの式は $9+6-8-9-4=-6$、因数分解した形は $(3-4)(3+1+2)=(-1)(6)=-6$ ✓。