次を完全に因数分解せよ。因数分解できない場合はその旨を述べよ：x² + 25。

Step-by-step solution

1. 1

   共通因数を確かめる。 項は $x^2$ と $25$ で、共通の文字も、$1$ より大きい共通の数の因数ももたないので、くくり出せるものはない。

2. 2

   平方の差の型を試す。 その型には引き算 $a^2 - b^2$ が必要である。ここでは項が足し算になっているので、$x^2 + 25$ は平方の 和 であり、この型は当てはまらない。

3. 3

   実数解を探す。 $x^2 + 25 = 0$ とおくと $x^2 = -25$ となるが、これを満たす実数はない。実数解をもたない実数係数の 2 次式は、2 つの実数係数 1 次式の積として書けない。

4. 4

   判別式で裏を取る。 $x^2 + 0x + 25$ の判別式は $0^2 - 4(1)(25) = -100 < 0$ であり、同じ事実を代数的に述べたものである。

5. 5

   結論を述べる。 実数の範囲では $x^2 + 25$ は素である。（複素数の因数を許して初めて $(x - 5i)(x + 5i)$ となる。）