次の多項式を完全に因数分解せよ。因数分解できない場合はその旨を述べよ：5x⁴ − 80。

Step-by-step solution

1. 1

   数の最大公約数をくくり出す。 どちらの項も $5$ を因数にもつ：$5x^4 - 80 = 5(x^4 - 16)$。これを先にやると、係数に隠れていた構造が表に出る。

2. 2

   平方の差を見抜く。 $x^4 = (x^2)^2$、$16 = 4^2$ なので $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ である。

3. 3

   同じ公式をもう一度使う。 最初の括弧はそれ自身が平方の差である：$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$。

4. 4

   x² + 4 が分解できるかを判断する。 平方の和には実数解がないので、実数の範囲では $x^2 + 4$ は既約であり、因数分解はここで止まる。

5. 5

   完全な因数分解を述べる。 すべてを合わせると $5(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$ が得られる。

6. 6

   検算する。 $(x-2)(x+2)(x^2+4) = (x^2-4)(x^2+4) = x^4 - 16$ であり、$5(x^4 - 16) = 5x^4 - 80$ である。