3 乗の和・差の公式を使って因数分解せよ：125x³ − 64。

Step-by-step solution

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   2 つの項が本当に立方数であることを確かめる。 $125=5^{3}$ であり $x^{3}$ はもともと 3 乗なので $125x^{3}=(5x)^{3}$ である。また $64=4^{3}$ である。両者をつなぐ演算が引き算なので、3 乗の差の公式が使える。

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   公式を書き下す。 $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$ ここで $a=5x$、$b=4$ である。2 次の因子の真ん中の符号が $+$ であり、1 次の因子の符号とは逆になっている点に注意する。

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   1 次の因子を作る。 $a-b=5x-4 .$

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   2 次の因子を作る。 $a^{2}=(5x)^{2}=25x^{2},\qquad ab=(5x)(4)=20x,\qquad b^{2}=4^{2}=16,$ なので 2 つ目の因子は $25x^{2}+20x+16$ である。その判別式は $400-1600=-1200<0$ なので、実数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

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   結果を書いて検算する。 $125x^{3}-64=(5x-4)\left(25x^{2}+20x+16\right).$ 展開すると $5x\cdot 25x^{2}=125x^{3}$ であり、ほかの項はすべて 2 つずつ打ち消し合って $-4\cdot 16=-64$ が残る。