32x²y² − 24x を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   最大公約数の数の部分を求める。 $32=2^5$、$24=2^3\cdot 3$ なので、共通する最大の数の因数は $2^3=8$ である。

2. 2

   最大公約数の文字の部分を求める。 第 1 項には $x^2y^2$ があり、第 2 項には $x$ しかない。共有される $x$ の次数は 小さいほう の指数 $x^1$ である。また $y$ は第 2 項にないので、$y$ はくくり出せない：

   $\text{最大公約数}=8x$

3. 3

   各項を最大公約数で割る。

   $\frac{32x^2y^2}{8x}=4xy^2,\qquad\frac{-24x}{8x}=-3$

   $32x^2y^2-24x=8x\left(4xy^2-3\right)$

4. 4

   括弧がさらに分解できるかを調べる。 $4xy^2-3$ は平方の差ではなく（$3$ は平方数ではなく、$4xy^2$ も $x$ が 1 個だけなので平方ではない）、2 つの項に共通因数もない。したがって因数分解は完全である。

5. 5

   展開して検算する。 $8x\cdot 4xy^2=32x^2y^2$、$8x\cdot(-3)=-24x$ $\checkmark$。数値では $x=1$、$y=2$ のとき、もとの式が $=128-24=104$、因数分解した形が $8(16-3)=8\cdot 13=104$ $\checkmark$。