x² − 2ax + x + a² − a − 2 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $x$ の次数ごとに項をまとめる。

   $x^2+(1-2a)x+\left(a^2-a-2\right)$

   これは係数に $a$ を含む $x$ の 2 次式である——したがって因数分解できるなら、$x$ について 1 次の括弧 2 つの積になるはずである。

2. 2

   中に隠れている平方完成を見つける。 $x^2$、$-2ax$、$a^2$ の 3 つはちょうど $(x-a)^2$ である。これを剥がすと

   $x^2-2ax+a^2+x-a-2=(x-a)^2+(x-a)-2$

   となる。残った $+x-a$ がそれ自体 $(x-a)$ だからである。これで $x$ と $a$ は $x-a$ というひとかたまりの中にしか現れなくなった。

3. 3

   $u=x-a$ と置いて、ただの 2 次式を分解する。

   $u^2+u-2=(u-1)(u+2)$

   $(-1)(2)=-2$ かつ $-1+2=1$ だからである。この置き換えで文字は完全に姿を消した。

4. 4

   $u=x-a$ を戻す。

   $(x-a-1)(x-a+2)$

5. 5

   2 通りで突き合わせる。 係数から見る道：$a^2-a-2=(a-2)(a+1)$ であり、2 つの括弧の定数項 $-(a+1)$ と $2-a$ の和は $1-2a$ ✓ で 1 次の係数と一致する。数値では $x=1$、$a=2$ のとき、もとの式は $1-4+1+4-2-2=-2$、因数分解した形は $(1-2-1)(1-2+2)=(-2)(1)=-2$ ✓。