2x² − x − 6xy + 3y を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   4 つの項を役に立つ 2 組に分ける。 組分けがうまくいくのは、各組に共通因数があり、かつ 残った括弧が一致するときだけである。前の 2 項と後ろの 2 項を組にする：

   $\left(2x^2-x\right)+\left(-6xy+3y\right)$

2. 2

   それぞれの組を因数分解する。 前の組からは $x$ を、後ろの組からは $-3y$ をくくり出す（マイナスは意図的で、こうすると括弧が同じ向きで出てくる）：

   $2x^2-x=x(2x-1),\qquad -6xy+3y=-3y(2x-1)$

   もし $+3y$ をくくり出していたら $3y(-2x+1)$ となる——正しくはあるが、一致が見えなくなる。

3. 3

   括弧が一致することを確かめる。 どちらの組からも $(2x-1)$ が出てきた：

   $x(2x-1)-3y(2x-1)$

   この一致こそが、組分けの選び方が正しかった合図である。

4. 4

   共通の 1 次式をくくり出す。

   $x(2x-1)-3y(2x-1)=(2x-1)(x-3y)$

5. 5

   展開し直して数値でも確かめる。 $(2x-1)(x-3y)=2x^2-6xy-x+3y$ であり、これは項の順序を入れ替えたもとの式である ✓。$x=2$、$y=1$ では、もとの式が $8-2-12+3=-3$、因数分解した形が $(4-1)(2-3)=3(-1)=-3$ ✓。どちらの因数もこれ以上分解できないので、因数分解は完全である。