y′ を変数とみなして (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x² を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   微分の記号を変数として扱う。 $y^{\prime}$ の降べきの順に書くと、この式はふつうの 2 次式である：

   $\left(y^{\prime}\right)^2-\left(4x^2\right)y^{\prime}+\left(4x^4-x^2\right)$

   どの記号が未知数の役割を果たすのかを見極めることが、ここでの最初の実質的な判断である。$x$ の累乗は単なる係数にすぎない。

2. 2

   最初の 3 項に隠れている完全平方式を見抜く。 $\left(y^{\prime}\right)^2$、$-4x^2y^{\prime}$、$4x^4$ の 3 つは、$a=y^{\prime}$、$b=2x^2$ とした $a^2-2ab+b^2$ の形に合う：

   $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2$

   定数項 $4x^4-x^2$ は、この組み分けができるように、$4x^4$ と余りの $-x^2$ に意図的に分けてある。

3. 3

   式全体を 2 つの平方の差として書き直す。

   $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-(x)^2$

4. 4

   $A=y^{\prime}-2x^2$、$B=x$ として $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ を当てはめる。

   $\left(y^{\prime}-2x^2-x\right)\left(y^{\prime}-2x^2+x\right)$

5. 5

   展開して戻して検算する。 2 つの因数の積は $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2$ であり、展開すると $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4-x^2\;\checkmark$ になる。$y^{\prime}=5$、$x=1$ で数値を点検すると、もとの式は $25-20+4-1=8$、因数からは $(5-2-1)(5-2+1)=2\cdot 4=8\;\checkmark$ である。