x⁴ + x² − 2ax + 1 − a² を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両端の項を手がかりに、組めそうな平方を探す。 $x^4$ と $+1$ から $\left(x^2+1\right)^2=x^4+2x^2+1$ という平方が思い浮かぶ。与えられた式と比べると、こちらには $x^2$ しかないので $x^2$ だけ足りず、代わりに $-2ax-a^2$ が余分についている。

2. 2

   帳尻を明示的に合わせる。

   $x^4+x^2-2ax+1-a^2=\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2-2ax-a^2=\left(x^2+1\right)^2-\left(x^2+2ax+a^2\right)$

   右側の括弧はそれ自体が完全平方 $(x+a)^2$ である。したがって全体は

   $\left(x^2+1\right)^2-(x+a)^2$

   となる。これが決め手であり、「一般の $a$ ではきれいに因数分解できない」という言い分が誤りであることも分かる。

3. 3

   平方の差の公式を当てはめる。 $A=x^2+1$、$B=x+a$ とすると：

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)=\left(x^2+1-x-a\right)\left(x^2+1+x+a\right)$

4. 4

   それぞれの括弧を整える。

   $\left(x^2-x+1-a\right)\left(x^2+x+1+a\right)$

   どちらの因数も $x$ の 2 次式で、文字は定数項だけに入っている。

5. 5

   展開して検算する。 掛け合わせると $x^3$ の項は打ち消し合い（$-x^3+x^3$）、交差項まで数えた $x^2$ の項は $x^2+x^2-x^2=x^2$ となり、$x$ の項は $-2ax$ にまとまり、定数項は $(1-a)(1+a)=1-a^2$ になる——もとの式がそのまま再現される。適当な数値での確認（$x=1.5$、$a=0.7$）でも両辺は同じ値になる。

6. 6

   特別な場合 $a=0$ で辻褄を見る。 因数分解は

   $\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^4+x^2+1$

   となり、これはよく知られた恒等式である——実際、もとの式で $a=0$ としても同じく $x^4+x^2+1$ になる ✓。