x² − 100x + 48² を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   まず 2 乗のままの定数を計算する。 $48^2$ のままでは構造が見えない：

   $48^2=2304\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-100x+2304$

   （暗算でやるなら $(50-2)^2=2500-200+4=2304$ とすればよい。）

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   完全平方式だと決めつけない。 $48^2$ があると $(x-48)^2$ と当てたくなるが、それを展開すると $x^2-96x+2304$ になり、真ん中の項が $-100x$ ではなく $-96x$ になってしまう。判別式で決着がつく：$100^2-4(2304)=10000-9216=784=28^2$ は平方数だが 0 ではないので、整数の解が相異なる 2 つある。

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   探し方を決める。 積が $2304$、和が $-100$ になる 2 数が必要である。積が正で和が負なので、どちらも負でなければならない。

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   判別式を使って探索を短くする。 $\sqrt{784}=28$ なので、解は

   $x=\frac{100\pm28}{2}=64\ \text{と}\ 36$

   となり、求める 2 数は $-64$ と $-36$ である。確かめると $(-64)(-36)=2304$ ✓、$-64+(-36)=-100$ ✓。

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   因数分解を書く。

   $x^2-100x+48^2=(x-64)(x-36)$

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   展開して検算する。 $(x-64)(x-36)=x^2-36x-64x+2304=x^2-100x+2304$ ✓。$-30$ から $119$ までのすべての整数で 2 つの形を比べても完全に一致する ✓。きれいな構造にも注目したい：$64+36=100$、$64\times36=2304=48^2$ であり、$48$ は $64$ と $36$ の相乗平均、$50$ は相加平均になっている。