(x + 1)⁴ + (x − 1)⁴ − 82 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   二項定理で 2 つの 4 乗を展開する。

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,\qquad (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

2. 2

   足し合わせて、奇数次が消えるのを見る。

   $(x+1)^4+(x-1)^4=2x^4+12x^2+2$

   これは偶然ではない。2 つめの式は 1 つめの $x$ を $-x$ に置き換えたものであり、$f(x)+f(-x)$ では常に偶数次の項だけが残る。これに気づけば $x^3$ と $x$ の項の計算は丸ごと省ける。

3. 3

   82 を引き、共通因数 2 をくくり出す。

   $2x^4+12x^2+2-82=2x^4+12x^2-80=2\left(x^4+6x^2-40\right)$

4. 4

   $y=x^2$ と置いてふつうの 2 次式にする。

   $y^2+6y-40=(y+10)(y-4)$

   $10\cdot(-4)=-40$ かつ $10+(-4)=6$ だからである。

5. 5

   もとに戻し、実数の範囲で分解し切る。

   $x^4+6x^2-40=(x^2+10)(x^2-4)=(x^2+10)(x-2)(x+2)$

   因数 $x^2+10$ は実数解を持たないのでそのまま残り、$x^2-4$ は平方の差なので分かれる。

6. 6

   まとめて数値で確かめる。

   $(x+1)^4+(x-1)^4-82=2(x-2)(x+2)(x^2+10)$

   $x=1$ のとき、もとの式は $16+0-82=-66$ で、$2(-1)(3)(11)=-66$ ✓。$x=3$ のとき、$256+16-82=190$ で、$2(1)(5)(19)=190$ ✓。