(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1) − (x + 3)(x + 3)(x + 3)(x + 3) − 272 を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   同じ因数の繰り返しを 4 乗として書き直す。 それぞれの組にある 4 つの同じ因数は、単にべきである。

   $(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)=(x+1)^4,\qquad (x+3)(x+3)(x+3)(x+3)=(x+3)^4$

2. 2

   二項定理でそれぞれを展開する。 係数 $1,4,6,4,1$ を使う。

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$

   $(x+3)^4=x^4+4(3)x^3+6(9)x^2+4(27)x+81=x^4+12x^3+54x^2+108x+81$

   $3$ のべきは $3,9,27,81$ と急に大きくなる。計算ミスが起きるのはここである。

3. 3

   マイナスを 2 つ目の展開全体に配りながら、項ごとに引く。

   $x^4-x^4=0,\quad 4x^3-12x^3=-8x^3,\quad 6x^2-54x^2=-48x^2,\quad 4x-108x=-104x$

   最高次の係数が 1 の 4 乗どうしを引くと $x^4$ の項はつねに消えるので、結果の次数は $3$ に下がる。

4. 4

   $-272$ を含めて定数項を処理する。

   $1-81-272=-352$

   したがって簡単にした式は

   $-8x^3-48x^2-104x-352$

   となる。

5. 5

   共通因数 $-8$ でくくり、検算する。 どの係数も $8$ で割り切れる。

   $-8\left(x^3+6x^2+13x+44\right)$

   $x=0$ で確かめると、もとの式は $1-81-272=-352$、簡単にした式も $-352\;\checkmark$。$x=1$ では、もとの式は $16-256-272=-512$、$-8-48-104-352=-512\;\checkmark$。中の 3 次式は $44$ の約数の中に有理数の解を持たないので、整数の範囲での因数分解はここまでである。