多項式 x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   係数が回文になっていることに気づく。 $1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1$ は前から読んでも後ろから読んでも同じ並びである。回文型の 4 次式は回文型の 2 次式の 2 乗であることが多いので、$\left(x^2 + bx + c\right)^2$ を試す。

2. 2

   係数を比較する。 試しの平方を展開すると：

   $\left(x^2 + bx + c\right)^2 = x^4 + 2bx^3 + \left(b^2 + 2c\right)x^2 + 2bc\,x + c^2$

   目標の式と比べると、$2b = 2$ より $b = 1$。$c^2 = 1$ と、$x$ の係数 $2bc = 2$ とから $c = 1$ が定まる。$x^2$ の係数は $b^2 + 2c = 1 + 2 = 3$ で確かめられる。すべての係数が一致する。

3. 3

   因数分解を書き下す。

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x^2 + x + 1\right)^2$

4. 4

   実数の範囲でこれ以上分解できないことを示す。 内側の 2 次式の判別式は $1 - 4 = -3 < 0$ なので $\mathbb{R}$ 上で既約であり、0 になることもない。平方完成すると $x^2 + x + 1 = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \tfrac34 \ge \tfrac34$ なので、4 次式は $\left(\tfrac34\right)^2 = \tfrac{9}{16}$ を下限に持ち、実数解はまったく存在しない。

5. 5

   複素数の範囲での因数分解も見ておく。 $\mathbb{C}$ 上では $x^2 + x + 1$ の根は 1 の原始 3 乗根 $\omega = \tfrac{-1 \pm i\sqrt3}{2}$ であり、それぞれが 4 次式の 2 重根になる：

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x - \omega\right)^2\left(x - \bar\omega\right)^2$

6. 6

   数値で確認する。 $x = 2$ のとき、4 次式は $16 + 16 + 12 + 4 + 1 = 49$、そして $\left(4 + 2 + 1\right)^2 = 7^2 = 49$。$x = -1.7$ ではどちらの形も $4.7961$ を返す。