a⁴ + a³ + a² + a + 1 を整理し、有理数の範囲と実数の範囲で因数分解できるかを判定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   等比数列の和であることを見抜く。 5 つの項は $a^0$ から $a^4$ までの連続する累乗で公比は $a$ なので、有限等比数列の和の公式が使える：

   $a^4+a^3+a^2+a+1=\frac{a^5-1}{a-1},\qquad a\neq1$

   同じことだが、この式に $(a-1)$ を掛けると途中が打ち消し合って $a^5-1$ になる。$a=1$ のときの値は単に $5$ である。

2. 2

   有理数の因数を排除する。 有理根定理より、有理数解は定数項 $1$ を割り切らなければならないので、候補は $a=\pm1$ だけである。$p(1)=5$、$p(-1)=1-1+1-1+1=1$ で、どちらも 0 ではない。この多項式は第 5 円分多項式 $\Phi_5$ であり、実際に 有理数の範囲では既約 である——その根は 4 つの原始 5 乗根である。

3. 3

   そこで止めてはいけない。実数の範囲では因数分解できる。 「既約」で話を終えてしまうのがよくある誤りである。実数係数の 4 次式はつねに 2 つの実 2 次式に分解でき、ここではその因数分解を具体的に書ける。$a^2$ で割り（$a\neq0$ で正当）、対称に組にする：

   $a^2+a+1+\frac1a+\frac{1}{a^2}=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(a+\frac1a\right)+1$

4. 4

   t = a + 1/a と置き換える。 $a^2+\frac{1}{a^2}=t^2-2$ なので、括弧の部分は

   $t^2-2+t+1=t^2+t-1$

   になる。その解は $t=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$——黄金比とその共役である。$t$ の各値は 2 次方程式 $a^2-ta+1=0$ に対応する。

5. 5

   実数の範囲での因数分解を書く。

   $a^4+a^3+a^2+a+1=\left(a^2+\frac{1+\sqrt5}{2}a+1\right)\left(a^2+\frac{1-\sqrt5}{2}a+1\right)$

   どちらの因数も実数の範囲で既約である。判別式は $t^2-4$ で、$t\approx0.618$ と $t\approx-1.618$ に対してそれぞれ $-3.618$ と $-1.382$ となり、どちらも負である。

6. 6

   帰結を押さえて検算する。 2 つの 2 次因数がつねに正なので、この 4 次式は すべての実数 $a$ に対して正 である——$[-8,8]$ での最小値はおよそ $0.6736$ で、0 にはならない。数値では、もとの式と 2 つの 2 次式の積が $[-4,4]$ のランダムな $80$ 個の $a$ の値で計算機の精度の範囲で一致し ✓、等比数列の形も $a=1.3,\,2.7,\,-0.4,\,-3.1$ で一致する ✓。