x⁸ − 2x⁷ + 3x⁶ − 4x⁵ + 5x⁴ − 4x³ + 3x² − 2x + 2 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   係数の並びを読む。 係数は $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 2$ で、最後の 1 つを除いて回文になっている。対称性から言えば $1$ であるべきところが $2$ になっているのである。$1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 1$ のような回文的な $8$ 次のパターンは 4 次式の平方であることの印なので、まずその部分を切り出す。

2. 2

   平方を特定する。 符号が交互になる 4 次式を 2 乗すると、ちょうどその対称なパターンが現れる：

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = x^8 - 2x^7 + 3x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

   与えられた多項式と項ごとに見比べると、定数項を除くすべての係数が一致し、定数項だけがちょうど $1$ だけ大きい。

3. 3

   多項式全体を書き直す。 したがって

   $P(x) = \left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 + 1$

   である。この恒等式が解答のすべてである——実数解の問いを自明にし、複素数解もきれいに与えてくれる。

4. 4

   実数解が存在しないと結論する。 実数 $x$ に対して平方は非負なので、すべての実数 $x$ について

   $P(x) \ge 0 + 1 = 1 > 0$

   が成り立つ。よって方程式 $P(x) = 0$ には実数解が存在しない。数値的には $P$ の実数上での最小値は約 $1.4537$ で、$x \approx 0.6058$ の近くで達成される——恒等式が予告するとおり、ゼロから十分に離れている。

5. 5

   複素数解を記述する。 $\mathbb{C}$ 上では方程式は

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = -1 \ \Longleftrightarrow \ x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = \pm i$

   となり、8 個の解は 2 つの 4 次式に分かれる。（左側の 4 次式は円分多項式 $\Phi_{10}$ であり、$\frac{x^5+1}{x+1}$ に等しい。）数値では解は

   $x \approx -0.4661 \pm 0.7670i, \quad -0.2913 \pm 1.1399i, \quad 0.6631 \pm 0.8872i, \quad 1.0943 \pm 0.5143i$

   であり、実係数多項式に要求されるとおり、すべて本当に非実数で、4 組の共役な対をなしている。

6. 6

   うまくいかない道も書き留めておく。 この多項式は有理根をもたず、しらみつぶしに探しても整数上で 2 次式 × 6 次式にも、2 つの 4 次式の積にも分解しない。したがって「平方 + 1」の恒等式は数ある道のうちの 1 つではなく、唯一の道である。