(1 + x + x² + x³) の 2 乗を展開して簡単にし、そこから x の 3 乗を引け。

Step-by-step solution

1. 1

   16 個の項を掛け合わせるかわりに、添字の組を数えて 2 乗を求める。 $(1+x+x^2+x^3)^2$ において $x^k$ の係数は、$i+j=k$ かつ $0\le i,j\le 3$ を満たす順序対 $(i,j)$ の個数である。数えると、$k=0$ は $1$ 組、$k=1$ は $2$ 組、$k=2$ は $3$ 組、$k=3$ は $4$ 組（すなわち $0{+}3,1{+}2,2{+}1,3{+}0$）、$k=4$ は $3$ 組、$k=5$ は $2$ 組、$k=6$ は $1$ 組である。

2. 2

   2 乗を書く。

   $(1+x+x^2+x^3)^2=1+2x+3x^2+4x^3+3x^4+2x^5+x^6$

   係数は前から読んでも後ろから読んでも同じである。これは予想どおりで、左右対称な多項式を 2 乗すると、つねに左右対称な多項式になる。

3. 3

   $x=1$ で 2 乗を検算する。 もとの式は $1+1+1+1=4$ になるので、2 乗は $16$ でなければならない。実際 $1+2+3+4+3+2+1=16$ である。ステップ 1 で数え間違えていれば、ここで露見する。（なお $x\neq 1$ のとき $1+x+x^2+x^3=\frac{x^4-1}{x-1}$ なので、2 乗は $\frac{(x^4-1)^2}{(x-1)^2}$ とも書ける。）

4. 4

   $x^3$ を引く。 影響を受ける係数は 1 つだけで、3 次の係数が $4$ から $3$ に下がる。

   $1+2x+3x^2+(4-1)x^3+3x^4+2x^5+x^6$

5. 5

   結果を書き、$x=2$ で確かめる。 次数の降順に並べると

   $x^6+2x^5+3x^4+3x^3+3x^2+2x+1$

   $x=2$ ではもとの式が $(1+2+4+8)^2-8=15^2-8=217$、展開した式が $64+64+48+24+12+4+1=217$ となる。両者は一致するので、展開は正しい。