3x³ + 7x² − 4 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両端の係数から候補の一覧を作る。 有理数解 $p/q$ は $p\mid 4$ かつ $q\mid 3$ を満たす必要がある：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm\tfrac13,\ \pm\tfrac23,\ \pm\tfrac43$

2. 2

   扱いやすい整数から試す。 $f(x)=3x^3+7x^2-4$ とおくと

   $f(-1)=-3+7-4=0$

   となるので、$x=-1$ は解であり $(x+1)$ は因数である。

3. 3

   $(x+1)$ で組立除法により割る。 係数 $3,\,7,\,0,\,-4$、割る数は $-1$：

   $3\quad 4\quad -4\ \ |\ \ 0$

   となり、商 $3x^2+4x-4$、余りゼロが得られる。

4. 4

   AC 法で 2 次式を因数分解する。 $ac=3\cdot(-4)=-12$ であり、和が $4$ になる組が必要で、それは $6$ と $-2$ である：

   $3x^2+6x-2x-4=3x(x+2)-2(x+2)=(3x-2)(x+2)$

5. 5

   組み立てて検算する。

   $3x^3+7x^2-4=(x+1)(x+2)(3x-2)$

   展開すると $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$、$(x^2+3x+2)(3x-2)=3x^3-2x^2+9x^2-6x+6x-4=3x^3+7x^2-4$ $\checkmark$。3 つの解は $-1$、$-2$、$\tfrac23$ である。実際 $f\left(\tfrac23\right)=3\cdot\tfrac{8}{27}+7\cdot\tfrac49-4=\tfrac89+\tfrac{28}{9}-4=0$ $\checkmark$。