−3x⁶ + 12x¹² を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   項を降べきの順に並べ替える。 標準形にすると最高次の項が正になり、構造が見えるようになる：

   $12x^{12}-3x^6$

2. 2

   最大公約数をくくり出す。 $12$ と $3$ の数の最大公約数は $3$ で、$x$ の次数の小さいほうは $x^6$ である：

   $12x^{12}-3x^6=3x^6\left(4x^6-1\right)$

3. 3

   ここで止めてはいけない——括弧の中を調べる。 $4x^6=\left(2x^3\right)^2$、$1=1^2$ なので、$4x^6-1$ は 平方の差 である。$3x^6(4x^6-1)$ のままで答えにするのは不完全な因数分解である。

4. 4

   $A=2x^3$、$B=1$ として $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ を当てはめる。

   $4x^6-1=\left(2x^3-1\right)\left(2x^3+1\right)$

   $12x^{12}-3x^6=3x^6\left(2x^3-1\right)\left(2x^3+1\right)$

5. 5

   有理数の範囲でこれ以上取り出せないことを確かめる。 $2x^3\mp 1$ を立方の和や差として分けるには $2$ が有理数の 3 乗でなければならないが、そうではない。$x=1$ で数値を検算する。もとの式は $=12-3=9$、因数分解した形は $3(1)(2-1)(2+1)=3\cdot 1\cdot 3=9$ $\checkmark$。