(9/16)c² − 1 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   分数の係数でも平方になりうることを確かめる。 分数が平方になるのは分子と分母がともに平方のときであり、ここでは $9=3^{2}$、$16=4^{2}$ なので

   $\frac{9}{16}c^{2}=\left(\frac{3}{4}c\right)^{2},\qquad1=1^{2}$

   である。$\tfrac9{16}$ の平方根は $\tfrac34$ である——分子と分母で別々に平方根をとるのであって、分数を半分に しない。

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   平方の差の公式を当てはめる。 $a=\tfrac34c$、$b=1$ とすると：

   $\frac{9}{16}c^{2}-1=\left(\frac{3}{4}c\right)^{2}-1^{2}=\left(\frac{3}{4}c-1\right)\left(\frac{3}{4}c+1\right)$

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   展開して検算する。 $\left(\tfrac34c\right)^{2}+\tfrac34c-\tfrac34c-1=\tfrac9{16}c^{2}-1$ ✓——この型ではつねにそうであるように、交差項が打ち消し合う。この等式は $51$ 個の有理数の点で厳密に確認済み ✓。

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   分数の出ない別の形も示す。 先に $\tfrac1{16}$ をくくり出すと、問題は整数の話になる：

   $\frac{9}{16}c^{2}-1=\frac{1}{16}\left(9c^{2}-16\right)=\frac{1}{16}(3c-4)(3c+4)$

   これは同じ式である——$\left(\tfrac34c\mp1\right)$ をそれぞれ $4$ 倍すると $(3c\mp4)$ になり、$4\times4=16$ が分母を説明する。どちらの形も数値で一致が確認済み ✓。

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   解を読み取る。 どちらかの因数を 0 とおくと $\tfrac34c=\pm1$ なので

   $c=\pm\frac{4}{3}$

   となる。確認：$\tfrac9{16}\cdot\tfrac{16}{9}-1=1-1=0$ ✓ であり、$c^{2}$ しか現れないのでどちらの符号でも成り立つ。