−x⁴y + 6x³y − 5x²y を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   共通の単項式因数をくくり出す。 どの項も少なくとも $x^2$ と $y$ を 1 個ずつ含み、数の係数 $-1,6,-5$ は $1$ しか共有しない：

   $-x^4y+6x^3y-5x^2y=x^2y\left(-x^2+6x-5\right)$

   各文字の 最も低い 次数をとる。$x^4$ ではなく $x^2$ である。

2. 2

   三項式からマイナスをくくり出す。 最高次の係数が負だといつもの型が見えにくいので、外に出す：

   $-x^2+6x-5=-\left(x^2-6x+5\right)$

3. 3

   モニックな三項式を因数分解する。 積が $+5$、和が $-6$ になる 2 数はどちらも負で、$-1$ と $-5$ である：

   $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$

4. 4

   マイナス符号を持ったまま組み立て直す。

   $x^2y\left[-(x-1)(x-5)\right]=-x^2y(x-1)(x-5)$

   符号を片方の括弧の中に入れた $x^2y(1-x)(x-5)$ も同じく正しい形である。

5. 5

   展開して戻し、数値でも試す。 $-x^2y(x^2-6x+5)=-x^4y+6x^3y-5x^2y$ ✓。$x=2$、$y=1$ では、もとの式は $-16+48-20=12$、因数分解した形は $-4(1)(2-1)(2-5)=-4(1)(-3)=12$ ✓。これ以上分解できるものはないので、これで完全である。