−140 の平方根を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   何よりも先に虚数単位を取り出す。 定義により $i=\sqrt{-1}$ なので、$a>0$ に対して次が成り立つ：

   $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{-140}=i\sqrt{140}$

   これを先にしておけば、以降の計算はすべて実数の範囲に収まり、いつもの根号の法則がそのまま使える。

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   $140$ の最大の平方因数を見つける。 素因数分解は $140=2^2\times 5\times 7$ なので、平方の部分は $4$ である：

   $140=4\times 35$

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   実数側の根号を簡単にする。

   $\sqrt{140}=\sqrt4\cdot\sqrt{35}=2\sqrt{35}$

   であり、$35=5\times 7$ は平方因数をもたないので、これ以上は外に出ない。

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   部品を組み合わせる。

   $\sqrt{-140}=2i\sqrt{35}$

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   2 乗して確かめる。 $\left(2i\sqrt{35}\right)^2=4i^2\cdot 35=4(-1)(35)=-140$ $\checkmark$。数値では $2\sqrt{35}\approx 11.8322$ なので、値はおよそ $11.8322i$ である。