a⁶ + b⁶ を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和に対して通用する分け方を選ぶ。 指数 $6$ は $2\times3$ とも $3\times2$ とも見られる。平方と読んで $\left(a^{3}\right)^{2}+\left(b^{3}\right)^{2}$ とすると 平方の和 になり、因数分解できない。立方と読めばうまくいく：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}$

   教訓は、和が因数分解できるのは 奇数 乗を通してだ、ということである——ここで隠れている奇数の指数が $3$ である。

2. 2

   $u=a^{2}$、$v=b^{2}$ として立方の和の公式 $u^{3}+v^{3}=(u+v)\left(u^{2}-uv+v^{2}\right)$ を当てはめる。

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\left(a^{2}\right)^{2}-a^{2}b^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}\right)$

3. 3

   累乗を整理する。 $\left(a^{2}\right)^{2}=a^{4}$、$\left(b^{2}\right)^{2}=b^{4}$ なので

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   となる。中央の項は積 $uv$ にあたる $-a^{2}b^{2}$ であって、$-2a^{2}b^{2}$ ではない。後者なら 2 項式の平方のほうに属する。

4. 4

   展開と数値で検算する。 展開すると $a^{6}-a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}=a^{6}+b^{6}$ ✓——中央の 4 項が 2 つずつ打ち消し合う。この恒等式は $-8\le a,b\le8$ を満たす $289$ 組の整数すべてで成り立つ ✓。$a=2,b=1$ で点検すると $64+1=65$、$(5)(16-4+1)=5\cdot13=65$ ✓。

5. 5

   整数の範囲でこれ以上進めないことを押さえる。 $a^{2}+b^{2}$ は平方の和であり、実数の範囲で既約である。4 次式 $a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}$ にも実数の 1 次因数はない——これは $\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-3a^{2}b^{2}$ に等しく、平方の差ではあるものの、分けると $\sqrt3$ が入るので整数の範囲での因数分解にはならない。したがって 2 因数の答えが $\mathbb{Z}$ 上で完全である。