a⁴ + 4b⁴ を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何が障害かを見抜く。 これは 和 であり、2 つの平方の和——$\left(a^{2}\right)^{2}+\left(2b^{2}\right)^{2}$——は通常、実数の範囲では因数分解できない。工夫は、ある項を足してそのまま引くことで平方の差を 作り出す ことにある。これは値を変えないまま構造を露わにする。

2. 2

   $4a^{2}b^{2}$ を足して引く。 この選び方は恣意的ではない。$4a^{2}b^{2}$ はちょうど $a^{2}$ と $2b^{2}$ の積の 2 倍であり、完全平方式が必要とする交差項そのものである：

   $a^{4}+4b^{4}=\underbrace{a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}}_{\text{完全平方式}}-4a^{2}b^{2}$

3. 3

   最初の 3 項をまとめる。

   $a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}$

   これで式は正真正銘の平方の差になった：

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-(2ab)^{2}$

4. 4

   $A=a^{2}+2b^{2}$、$B=2ab$ として $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ を当てはめる。

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}-2ab\right)\left(a^{2}+2b^{2}+2ab\right)$

   各括弧を $a$ の降べきの順に並べ替えると、ソフィー・ジェルマンの恒等式 の標準的な書き方になる：

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)$

5. 5

   検算し、因数がこれ以上分解できないことを確かめる。 $-7\le a,b\le7$ を満たす $225$ 組の整数すべてで積を展開すると、ちょうど $a^{4}+4b^{4}$ が再現される ✓。$a=1,b=1$ で点検すると $1+4=5$、$(1-2+2)(1+2+2)=1\cdot5=5$ ✓。どちらの 2 次因数も $a$ についての判別式が $4b^{2}-8b^{2}=-4b^{2}<0$ なので、実数の範囲ではこれ以上分解できない——これが完全な因数分解である。

6. 6

   なぜ役に立つのかを見る。 $b=1$ とすると恒等式は $a^{4}+4=\left(a^{2}-2a+2\right)\left(a^{2}+2a+2\right)$ を与え、これは $a>1$ を満たすすべての整数について $a^{4}+4$ が合成数であることを示す——この恒等式の古典的な整数論への応用である。