(a + x)^(m+1) (b + x)^(n−1) − (a + x)^m (b + x)^n を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   文字ではなく指数を読む。 どちらの項も同じ 2 つの底 $(a+x)$ と $(b+x)$ からできており、違うのは指数だけである。第 1 項は $(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}$、第 2 項は $(a+x)^{m}(b+x)^{n}$ を担っている。2 つの積が底を共有するとき、最大公約数は各底の 小さいほう の指数を使う——この規則がここでの方法のすべてであり、$m$ と $n$ が未知でも通用する。

2. 2

   各底について小さいほうの指数をとる。 $(a+x)$ の指数は $m+1$ と $m$ なので、小さいほうは $m$ である。$(b+x)$ については $n-1$ と $n$ なので、小さいほうは $n-1$ である。したがって

   $\text{最大公約数}=(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   となる。これは整数 $m,n$ が何であっても正当であることに注意する。値を知る必要はまったくなく、各組でどちらが小さいかだけが分かればよい。

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   $x^p/x^q=x^{p-q}$ を使って各項を最大公約数で割る。

   $\frac{(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(a+x)^{1}=a+x$

   $\frac{(a+x)^{m}(b+x)^{n}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(b+x)^{1}=b+x$

   よって式は $(a+x)^m(b+x)^{n-1}\left[(a+x)-(b+x)\right]$ になる。

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   括弧を整理する——ここで問題が一気に崩れる。 マイナス符号を慎重に分配する：

   $(a+x)-(b+x)=a+x-b-x=a-b$

   2 つの $x$ の項が打ち消し合うので、括弧はそもそも $x$ の 1 次式ではなく、定数の差 $a-b$ である。$+x$ にマイナスを分配し忘れるのが最もよくある誤りで、それをすると誤った括弧 $a-b+2x$ が残ってしまう。

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   因数分解した形を書いて確かめる。 すべてを合わせると

   $(a-b)(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   となる。$a=2,b=1,x=1,m=2,n=3$ で手早く数値を確かめると、もとの式は $3^{3}\cdot 2^{2}-3^{2}\cdot 2^{3}=108-72=36$、因数分解した形は $(2-1)\cdot 3^{2}\cdot 2^{2}=36$ である。両者は一致するので、因数分解は正しい。