(1/16)x⁶ + x³ + 4 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   隠れた 2 次式を見つける。 指数は $6,3,0$ ——どれも $3$ の倍数である——であり、しかも $x^6=(x^3)^2$ である。つまりこの式は、$x^3$ というひとつの量についての 2 次式である：

   $\frac{1}{16}\left(x^3\right)^2+1\cdot x^3+4$

2. 2

   u = x^3 と置いて分数を払う。 $u=x^3$ とすると式は $\tfrac{1}{16}u^2+u+4$ である。$\tfrac{1}{16}$ をくくり出す——中身を $16$ 倍することと同じ——と、係数が整数になる：

   $\frac{1}{16}\left(u^2+16u+64\right)$

   帳尻を確かめる：$16\times1=16$ であり $16\times4=64$ ✓。

3. 3

   完全平方式であることに気づく。 $u^2+16u+64$ について、$64=8^2$ であり $2\times8=16$ が真ん中の係数と一致するので

   $u^2+16u+64=(u+8)^2$

   となる。（同じことだが、判別式が $16^2-4\cdot64=0$ となり、重解であることが確かめられる。）

4. 4

   もとの文字に戻す。

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}\left(x^3+8\right)^2$

5. 5

   3 乗の和を使って因数分解をさらに進める。 $x^3+8=x^3+2^3$ なので、公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ から $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$ が得られる。よって 2 乗すると：

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}(x+2)^2\left(x^2-2x+4\right)^2$

   2 次式 $x^2-2x+4$ の判別式は $4-16=-12<0$ なので、実数の範囲ではこれ以上分解できず、因数分解は完了である。

6. 6

   数値で検証する。 $[-4,4]$ の中の $x$ を $60$ 個ランダムにとってもとの式と 2 つの因数分解形を比べると、どの点でも機械精度の範囲で一致する ✓。抜き取り確認として $x=2$ では、もとの式が $=\tfrac{64}{16}+8+4=16$、因数分解形も $\tfrac{1}{16}(8+8)^2=\tfrac{256}{16}=16$ ✓。