巡回式 (b − c)(b + c)⁴ + (c − a)(c + a)⁴ + (a − b)(a + b)⁴ を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何かを展開する前に、まず代入して 0 になるかを調べる。 $a=b$ とおく。第 3 項は因数 $(a-b)$ のために消え、最初の 2 項は

   $(b-c)(b+c)^4+(c-b)(c+b)^4=0$

   となる。つまり $a=b$ のときつねに式は 0 になるので、$(a-b)$ は因数である。巡回対称性から $b=c$ と $c=a$ でも同じことが言えるので、積 $(a-b)(b-c)(c-a)$ は式を割り切る。

2. 2

   次数を数えて残りの因数を予測する。 各項の次数は $5$ で、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の次数は $3$ なので、残る因数は次数 $2$ の同次対称式である：

   $Q=\alpha\left(a^2+b^2+c^2\right)+\beta(ab+bc+ca)$

   未知数は 2 つだけなので、数値を 2 回代入すれば因数分解全体が決まる。

3. 3

   代入によって $\alpha$ と $\beta$ を決める。 $(a,b,c)=(-7,-3,0)$ のとき式の値は $-23436$、$(a-b)(b-c)(c-a)=(-4)(-3)(7)=84$ なので $Q=-279$ である。一方 $a^2+b^2+c^2=58$、$ab+bc+ca=21$ なので

   $58\alpha+21\beta=-279$

   となる。$(a,b,c)=(-1,-7,2)$ で同じ計算をすると $54\alpha-9\beta=-117$ が得られる。この 2 式を解くと

   $\alpha=-3,\qquad \beta=-5$

   となる。

4. 4

   因数分解を書く。 マイナス符号を前に出すと：

   $(b-c)(b+c)^4+(c-a)(c+a)^4+(a-b)(a+b)^4=-(a-b)(b-c)(c-a)\Big[3\left(a^2+b^2+c^2\right)+5(ab+bc+ca)\Big]$

5. 5

   展開した形と照合する。 $(x-y)(x+y)^4=x^5+3x^4y+2x^3y^2-2x^2y^3-3xy^4-y^5$ を使って各項を展開し、巡回的に足し合わせると

   $3\left(a^4b+b^4c+c^4a\right)+2\left(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\right)-2\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)-3\left(ab^4+bc^4+ca^4\right)$

   となり、5 乗の項は打ち消し合う。因数分解した形をこの展開と $500$ 組のランダムな有理数の 3 つ組で照合しても食い違いはなかった $\checkmark$。さらに 3 つ目の確認として $(a,b,c)=(-5,-2,-8)$ では、どちらからも $-32886$ が得られる。