(ax + by + ay)² + (bx − ay)(ax + by + ay) + (bx − ay)² を展開して因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   繰り返し現れる 2 つのかたまりに名前を付けて、形を見えるようにする。

   $A=ax+by+ay,\qquad B=bx-ay$

   とおくと、式全体はただの

   $A^2+AB+B^2$

   になる。この形は $A$ と $B$ だけでは因数分解できないので、成果は $A$ と $B$ の中身から出てくるしかない。すべて展開して項を集める。

2. 2

   $A^2$ を項ごとに展開する。 3 つの和なので、3 つの平方と 3 つの 2 倍の積が出てくる：

   $A^2=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+2abxy+2a^2xy+2aby^2$

   $2a^2xy$ に注意する——これは $2(ax)(ay)$ から来る項で、最も落としやすい。これを失うと最終的な答えが変わってしまう。

3. 3

   交差項 $AB$ と平方 $B^2$ を展開する。

   $AB=(ax+by+ay)(bx-ay)=abx^2-a^2xy+b^2xy-aby^2+abxy-a^2y^2$

   $B^2=(bx-ay)^2=b^2x^2-2abxy+a^2y^2$

4. 4

   $x^2$、$xy$、$y^2$ の 3 つの単項式の組にまとめる。 $xy$ の列を正確に扱うことが、この問題のすべてである：

   $x^2:\quad a^2+ab+b^2$

   $xy:\quad \underbrace{2ab+2a^2}_{A^2}\ \underbrace{-a^2+b^2+ab}_{AB}\ \underbrace{-2ab}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   $y^2:\quad \underbrace{b^2+a^2+2ab}_{A^2}\ \underbrace{-ab-a^2}_{AB}\ \underbrace{+a^2}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   3 つの列がすべて同じ係数 $a^2+ab+b^2$ を与える。

5. 5

   その共通の係数をくくり出す。 どの組も同じ因数をもつので

   $A^2+AB+B^2=(a^2+ab+b^2)\left(x^2+xy+y^2\right)$

6. 6

   信用する前に数値で検算する。 $a=2$、$b=3$、$x=4$、$y=5$ ととる。すると $A=2(4)+3(5)+2(5)=33$、$B=3(4)-2(5)=2$ なので

   $A^2+AB+B^2=1089+66+4=1159$

   となり、因数分解した形からは $(4+6+9)(16+20+25)=19\cdot 61=1159$ が得られる。一致するので、$xy$ の係数を $-a^2+ab+b^2$ と書いてしまうよくある取り違えも同時に排除できる。