75a⁶ − 147b¹⁶ を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   つねに最大公約数を先にくくり出す。 そのままでは $75a^6$ も $147b^{16}$ も平方ではないので、平方の差の公式はまだ使えない。係数を因数分解する：

   $75=3\cdot 25,\qquad 147=3\cdot 49$

   文字には共通するものがない——$a^6$ と $b^{16}$ に共通の文字はない——ので、最大公約数は数の $3$ だけである：

   $75a^6-147b^{16}=3\left(25a^6-49b^{16}\right)$

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   括弧の中の各項が平方かどうかを調べる。 最大公約数をくくり出したのはこのためである。単項式が平方になるのは、係数が平方数で、かつ指数がすべて偶数のときである：

   $25a^6=(5a^3)^2\qquad\text{なぜなら } 5^2=25 \text{ かつ } (a^3)^2=a^6$

   $49b^{16}=(7b^8)^2\qquad\text{なぜなら } 7^2=49 \text{ かつ } (b^8)^2=b^{16}$

   指数を半分にするのが要点のすべてである：$6/2=3$、$16/2=8$。

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   平方の差の公式を当てはめる。 $u=5a^3$、$v=7b^8$ とすると

   $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$

   から

   $25a^6-49b^{16}=(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

   が得られる。

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   取り分けておいた最大公約数を戻して組み立てる。 $3$ を落としてはいけない——この型で最も多い取りこぼしがこれである：

   $75a^6-147b^{16}=3(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

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   これ以上分解できないことを確かめ、値でも点検する。 $5a^3+7b^8$ のような平方の和は実数の範囲では決して因数分解できず、$5a^3-7b^8$ も、$5$ と $7$ が平方数ではなく指数 $3$ が奇数なので平方の差ではない。念のため答えを展開して戻す：

   $3\left[(5a^3)^2-(7b^8)^2\right]=3\left(25a^6-49b^{16}\right)=75a^6-147b^{16}$

   となり、もとの式と一致する。