(x + 1)(x² − x + 1) を展開して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 項式を 3 項式に分配する。 $(x+1)$ を 2 つの項に分け、それぞれに後ろの因子全体を掛ける：

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1\cdot(x^2-x+1)$

2. 2

   それぞれを展開する。

   $x(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$

   $1\cdot(x^2-x+1)=x^2-x+1$

3. 3

   足し合わせ、中間の項が消えるのを見る。

   $x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   $-x^2$ と $+x^2$ が打ち消し合い、$+x$ と $-x$ も同様である。6 項のうち 4 項が消える：

   $x^3+1$

4. 4

   打ち消しが保証されていた理由を見抜く。 これは 3 乗の和の公式を逆から読んだものである：

   $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$

   $a=x$、$b=1$ とすると 2 番目の因子は $x^2-x\cdot 1+1^2=x^2-x+1$ となり、与えられた式そのものである。$a^2-ab+b^2$ の符号が交互になっていることこそが交差項を打ち消す仕掛けであって、因子は $(x^2+x+1)$ ではない。そちらは $(x-1)$ と組んで $x^3-1$ を与える。

5. 5

   値を入れて検証する。 $x=2$ のとき：もとの式は $(3)(4-2+1)=3\cdot 3=9$、$x^3+1=8+1=9$ である。✓ $x=-1$ では両辺とも $0$ になり、$x=-1$ が $x^3+1$ の唯一の実数解であることと整合する。